Question

已知，关于x的二次方程m²x²+（2m+1）x+1=0的两个实数根为x₁、x₂．
（1）若方程的一个根是-1，求m的值；
（2）若y=（x₁+1）（x₂+1），试求出y与m的函数关系式以及m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的解的定义，将x=-1代入关于x的二次方程m²x²+（2m+1）x+1=0，然后解关于m的一元二次方程即可；
（2）根据韦达定理x1+x2=-

b

2a

、x1•x2=

c

a

以及根的判别式△=b²-4ac解答．

解答：解：（1）把x=-1代入关于x的二次方程m²x²+（2m+1）x+1=0，得
m²-2m-1+1=0（1分）
解得：m₁=0，m₂=2，（1分），
∵方程是二次方程，∴m≠0，∴m=2（1分）

（2）∵x₁、x₂是方程m²x²+（2m+1）x+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=-

2m+1

m2

，x1•x2=

1

m2

．（1分）
y=（x₁+1）（x₂+1）=x 1x2+(x1+x2)+1=

1

m2

-

2m+1

m2

+1=

m-2

m

，（3分）
∵方程有两个实数根，∴△=（2m-1）²-4m²=4m+1≥0，m≥-

1

4

，（2分）
∴m的取值范围是：m≥-

1

4

，且m≠0．（1分）

点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．