Question

如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O经过BC的中点D，过D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为3，切线长DE=2

2

，求cos∠C的值．

Answer 1

分析：（1）连接AD，AB是直径可得∠ADB=∠ADC=90°，而D是中点则有BD=CD，结合AD=AD，易证△ABD≌△ACD，从而有AB=AC；
（2）连接OD，由O、D是中点易证OD是△ABC的中位线，那么OD∥AC，于是∠ODE=∠CED=90°，即DE是⊙O的切线；
（3）由于∠4+∠3=90°，∠C+∠3=90°，易得∠4=∠C，而∠1=∠2，易证△AED∽△DEC，从而有

AE

DE

=

DE

CE

，由于OA=3，那么AB=AC=6，于是可设AE=x，则CE=6-x，代入比例关系式，易求得x₁=2，x₂=4，从而可分两种情况来讨论：①当AE=x₁=2时，CE=6-2=4，利用勾股定理可先求CD，从而易求cos∠C；②当AE=x₂=4时，CE=6-4=2，解法同①．

解答：（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°①，
又∵D是BC的中点，
∴BD=CD②，
而AD=AD③，
由①②③得△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC；

（2）证明：连接OD，
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；

（3）解：在Rt△AED中，∠4+∠3=90°，
在Rt△ADC中，∠C+∠3=90°，
∴∠4=∠C，
又∵∠2=∠1，
∴△AED∽△DEC，
∴

AE

DE

=

DE

CE

④，
∵⊙O的半径为3，
∴AB=AC=6，
设AE=x，则CE=6-x，
又DE=2

2

，
代入④得

x

2 2

=

2 2

6-x

，
解得x₁=2，x₂=4，
①当AE=x₁=2时，CE=6-2=4，
在Rt△DEC中，CD=

DE2+CE2

=

(2 2 )2+42

=2

6

，
∴cos∠C=

CE

CD

=

4

2 6

=

6

3

，
②当AE=x₂=4时，CE=6-4=2，CD=

DE2+CE2

=

(2 2 )2+22

=2

3

，
∴cos∠C=

CE

CD

=

2

2 3

=

3

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数的计算．解题的关键是连接OD、AD，构造直角三角形和平行线．