Question

（2012•南长区一模）如图，△ABC内接于⊙O，D是AB边上一点，AB=6，AC=BD=4，P是

BAC

的中点，连接PA、PB、PC、PD．
（1）求证：PD=PA；
（2）若cos∠PCB=

5

5

，求PA的长．

Answer 1

分析：（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解．
（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．

解答：解：（1）∵P是

BAC

的中点，
∴PB=PC
又∵∠PBA=∠PCA，BD=AC
∴△PBD≌△PCA
∴PD=PA  

（2）由（1）可知，当BD=4时，PD=PA，AD=AB-BD=6-4=2
过点P作PE⊥AD于E，则AE=0.5AD=1
∵∠PCB=∠PAD
∴cos∠PAD=cos∠PCB=

AE

PA

=

5

5

∴PA=

5

点评：本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系及解直角三角形的知识，综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．