题目内容

如图，已知直线y=2x+12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的OM与直线AB相切于点D，连接PD．
（1）求证：△ADM∽△AOB；
（2）如果OM的半径为2
5
，求出点M的坐标，并写出以(
5
2
，
29
2
)为顶点，且过点M的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，在此抛物线上是否存在点P，使得P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
分析：（1）由直线与圆相切可知，∠ADM=∠AOB=90°，公共角为∠A，利用“AA”可证△ADM∽△AOB；
（2）设A（0，m），由直线y=2x+12可知，OA=12，OB=6，则AM=12-m，DM=2
5
，利用勾股定理得AB=6
5
，由△ADM∽△AOB，利用相似比求m的值即可，设抛物线顶点式，将M点坐标代入，可求抛物线解析式；
（3）存在，△AOB中，OA：OB=12：6=2：1，则所求直角三角形两直角边的比为2：1，根据△PAM中，顶点P，A，M分别为直角顶点，根据抛物线解析式分别求符合条件的点P的坐标．
解答：（1）证明：∵⊙M与直线AB相切，∴∠ADM=∠AOB=90°，
又∵∠A=∠A，∴△ADM∽△AOB；

（2）解：设M（0，m），
由直线y=2x+12得，OA=12，OB=6，
则AM=12-m，而DM=2
5
，
在Rt△AOB中，AB=
OA2+OB2
=
122+62
6
5
，
∵△ADM∽△AOB，∴
AM
DM
=
AB
OB
，即
12-m
2
5
=
6
5
6
，解得m=2，
∴M（0，2），设顶点为（
5
2
，
29
2
）的抛物线解析式为y=a（x-
5
2
）2+
29
2
，
将M点坐标代入，得a（0-
5
2
）2+
29
2
=2，解得a=-2，
所以，抛物线解析式为y=-2（x-
5
2
）2+
29
2
；

（3）解：存在．
△PAM中，①当顶点M为直角顶点时，M、P两点关于抛物线对称轴x=
5
2
轴对称，此时MP=5，AM=12-2=10，AM：MP=2：1，符合题意，P（5，2）；
②当顶点A为直角顶点时，P点纵坐标为12，代入抛物线解析式，得-2（x-
5
2
）2+
29
2
=12，解得x=
5
2
±
5
2
，此时AP=
5
2
±
5
2
，AM=10，不符合题意；
③当顶点P为直角顶点时，则由相似三角形的性质可知，P（n，2n+2），或P（2n，n+2），
若P（n，2n+2），则2n+
1
2
n=10，解得n=4，而当x=4时，y=-2（4-
5
2
）2+
29
2
=10，2n+2=10，符合题意，
若P（2n，n+2），则n+4n=10，解得n=2，而当x=2n=4时，y=-2（4-
5
2
）2+
29
2
=10，n+2=4，不符合题意，
所以，符合条件的P点坐标为（5，2），（4，10）．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是由三角形相似，利用相似比求M点坐标，利用抛物线的顶点式求抛物线解析式，根据Rt△AOB的两直角边的关系及相似三角形的性质求P点坐标．
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2
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8
3
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