题目内容

已知函数y₁=px+q和y₂=ax²+bx+c的图象交于A（1，-1）和B（3，1）两点，抛物线y₂与x轴交点的横坐标为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=2 $数学公式$ ．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）设y₂与y轴交点为C，求△ABC的面积．

解：（1）将A、B两点坐标代入函数y₁=px+q中，得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴函数y₁=x-2，
由根与系数关系，得x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，
∵|x₁-x₂|=2 $\text{[math]}$ ，∴（x₁-x₂）²=8，即（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=8，b²-4ac=8a²，
将A、B两点坐标代入函数y₂=ax²+bx+c中，得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴函数y₂= $\text{[math]}$ x²-x- $\text{[math]}$ 或y₂=- $\text{[math]}$ x²+3x- $\text{[math]}$ ；
（2）当y₂= $\text{[math]}$ x²-x- $\text{[math]}$ 时，C（0，- $\text{[math]}$ ），
S_△ABC= $\text{[math]}$ ×（1+3）×2- $\text{[math]}$ ×3×（1+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当y₂=- $\text{[math]}$ x²+3x- $\text{[math]}$ 时，C（0，- $\text{[math]}$ ），
S_△ABC= $\text{[math]}$ ×（1+ $\text{[math]}$ ）×3- $\text{[math]}$ ×（1+3）×2- $\text{[math]}$ ×1×（ $\text{[math]}$ -1）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将A、B两点代入函数y₁=px+q中，可求函数解析式，将A、B代入y₂=ax²+bx+c中，再利用根与系数关系，列方程组求y₂的函数关系式；
（2）根据A、B、C三点坐标，利用组合图形求三角形的面积．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据条件列方程组求函数解析式，利用组合图形求三角形的面积．