Question

如图，△ABC的面积为1，D、E分别在AB，AC上，且DE∥BC，P在BC延长线上一点，则△DEP面积的最大值是

1

4

．

Answer 1

分析：设BC=a，DE=b，BC上的高=h，DE与BC的距离=x，利用三角形的面积公式和相似三角形的性质：对应高之比等于相似比，和得到△DEP面积和DE之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求其最值即可．

解答：解：设BC=a，DE=b，BC上的高=h，DE与BC的距离=x，
∵△ABC的面积为1，即

1

2

ah=1，
∴ah=2，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

h-x

h

，
即

b

a

=

h-x

h

∴x=

2h-h 2b

2

，
∴S_△DEP=

1

2

b×x=

1

2

b•

2h-h 2b

2

=-

1

4

h²b²+

1

2

bh，
∵△ABC的高h是一定值，
∴S_△DEP是边DE的二次函数，
∵二次项系数为-

1

4

，
∴函数有最大值为：s=

4×(- 1 4 h 2)×0-( 1 2 h) 2

4×(- 1 4 h 2)

=

1

4

，
故答案为：

1

4

点评：本题考查了三角形的面积最值的问题，解题的关键是建立面积和边（或高）的二次函数关系，利用二次函数的性质求其最值即可．