Question

已知点C是⊙O上一动点，弦AB=6，∠ACB=120゜．
 
（1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：AC+BC=CD；
（2）如图2，△ABC内切圆半径为r．①用含r的代数式表示AC+BC；②求r的最大值．

Answer 1

分析：（1）在CD上截取CE=BC，由∠ACD=∠BCD=60°得到△BCE为等边三角形，根据圆周角定理得∠ABD=∠ACD=60°，则BE=BC=CE，∠1+∠ABE=60°，∠ABE+∠2=60°，所以∠1=∠2，于是可根据“AAS”判断△ACB≌△DEB，得到AC=DE，由此得到CD=CE+DE=BC+AC；
（2）①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC于F，根据内心的性质得PF=PQ=PH=r，由∠ACD=∠BCD=60°得到∠CPF=∠CPH=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CF=

3

3

PF=

3

3

r，CH=

3

3

PH=

3

3

r，然后根据切线长定理得到PF=PQ=AC-CF=AC-

3

3

r，BH=BQ=BC-CH=BC-

3

3

r，而AB=AQ+BQ，所以AC-

3

3

r+BC-

3

3

r=6，整理得AC+BC=6+

2 3

3

r；
②由于AC+BC=CD得到CD=6+

2 3

3

r，所以当CD为直径时，r最大；当CD为直径，根据垂径定理的推论得CD⊥AB，AM=BM=

1

2

AB=3，AC=BC，可计算出CD=

3

3

AM=

3

，AC=2CD=2

3

，所以2

3

+2

3

=6+

2 3

3

r，可解得r=6-3

3

．

解答：（1）证明：在CD上截取CE=BC，如图1，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=120゜，
∴∠ACD=∠BCD=60°，
∴△BCE为等边三角形，∠ABD=∠ACD=60°，
∴BE=BC=CE，∠1+∠ABE=60°，∠ABE+∠2=60°，
∴∠1=∠2，
在△ACB和△DEB中

∠A=∠D ∠1=∠2 BC=BE

，
∴△ACB≌△DEB，
∴AC=DE，
∴CD=CE+DE=BC+AC；

（2）解：①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC于F，如图，
则PF=PQ=PH=r，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=120゜，
∴∠ACD=∠BCD=60°，
∴∠CPF=∠CPH=30°，
∴CF=

3

3

PF=

3

3

r，CH=

3

3

PH=

3

3

r，
∴PF=PQ=AC-CF=AC-

3

3

r，BH=BQ=BC-CH=BC-

3

3

r，
而AB=AQ+BQ，
∴AC-

3

3

r+BC-

3

3

r=6，
∴AC+BC=6+

2 3

3

r；
②∵AC+BC=CD，
∴CD=6+

2 3

3

r，
∴当CD为直径时，r最大，
如图3，当CD为直径，
∴CD⊥AB，垂足为M，
∴AM=BM=

1

2

AB=3，AC=BC，
∵∠ACD=60°，
∴∠CAM=30°，
∴CD=

3

3

AM=

3

，
∴AC=2CD=2

3

，
∴2

3

+2

3

=6+

2 3

3

r，
∴r=6-3

3

，
即r的最大值为6-3

3

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了三角形全等的判定与性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．