题目内容

已知：如图，△ABO与△BCD都是等边三角形，O为坐标原点，点B、D在x轴上，AO=2，点A、C在一反比例函数图象上．
（1）求此反比例函数解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）问：以点A为顶点，且经过点C的抛物线是否经过点（0， $数学公式$ ）？请说明理由．

解：（1）过点A、C分别作AF⊥OB于点F，CE⊥DB于点E，
∵AO=2，△ABO与△BCD是等边三角形，
∴OF=1，FA= $\text{[math]}$ ，
∴点A的坐标是（-1， $\text{[math]}$ ），
把（-1， $\text{[math]}$ ）代入 $\text{[math]}$ ，
得k=- $\text{[math]}$ ，
∴反比例函数的解析式是 $\text{[math]}$ ；

（2）设BE=a，则CE= $\text{[math]}$ a
∴点C的坐标是（-2-a， $\text{[math]}$ a），
把点C的坐标代入 $\text{[math]}$
得（-2-a） $\text{[math]}$ a=- $\text{[math]}$ ，
a= $\text{[math]}$ ，
∴点C的坐标是（-1- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（3）点C的抛物线是经过点（0， $\text{[math]}$ ）．
理由：设y=a（x+1）²+ $\text{[math]}$ ，
把点C坐标代入得a= $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ （x+1）²+ $\text{[math]}$ ，
当x=0时，代入上式得y= $\text{[math]}$ ，
∴点C的抛物线是经过点（0， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）首先过点A、C分别作AF⊥OB于点F，CE⊥DB于点E，根据AO=2，△ABO与△BCD是等边三角形，得出A点坐标，进而求出反比例函数解析式；
（2）首先表示出C点坐标，进而代入函数解析式求出即可；
（3）首先设y=a（x+1）²+ $\text{[math]}$ ，把点C坐标代入得出a的值，进而将点（0， $\text{[math]}$ ）得出答案．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出C点坐标是解题关键．