Question

某市政府大力扶持大学生创业．张涛在政府的扶持下销售一种进价为每件20元的新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销售量x（件）的函数关系如图所示．无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w_内（元）（利润=销售额-成本-广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本（含进价）为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳

1

100

x2元的附加费，设月利润为w_外（元）（利润=销售额-成本-附加费）．
（1）求y与x的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（2）分别求出w_内，w_外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）在国内销售时，每月的销售量在什么范围内，张涛才不会亏本？
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

Answer 1

分析：（1）根据待定系数法即可求出y与x的函数关系式；
（2）根据等量关系“利润=销售额-成本-广告费”“利润=销售额-成本-附加费”列出两个函数关系式；
（3）根据（2）中得出的关系式，结合二次函数的性质即可求出答案；
（4）通过对国内和国外的利润比较，又由于a值不确定，故要讨论a的取值范围．

解答：解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，由图象得

b=150 500k+b=145

，
解得

k=- 1 100 b=150

，
∴y=-

1

100

x+150；

（2）w_内=x（y-20）-62500=-

1

100

x²+130x-62500，
w_外=-

1

100

x²+（150-a）x；

（3）令w_内=0，则-

1

100

x2+130x-62500=0，
解得x₁=12500，x₂=500．
故每月的销售量至少为500件、至多为12500时，张涛才不会亏本；

（4）当x=5000时，w_内=337500，（11分）w_外=-5000a+500000
若w_内＜w_外，则a＜32.5；
若w_内=w_外，则a=32.5；
若w_内＞w_外，则a＞32.5．
所以，当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；
当a=32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜a≤40时，选择在国内销售．

点评：本题考查了二次函数的实际应用，是一道综合类题目，考查了同学们运用函数分析问题、解决问题的能力．