Question

如图，已知平面直角坐标系中，点，为两动点，其中，连结，．
（1）求证：；
（2）当时，抛物线经过两点且以轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于两点，问是否存在直线，使？若存在，求出直线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）作轴于点，轴于点，
点坐标分别为，，
又，易证，．
（2）由（1）得，，又，，
即.又
坐标为坐标为，
易得抛物线解析式为．
（3）直线为，且与轴交于点，
假设存在直线交抛物线于两点，且使，如图所示，
则有，作轴于点， 轴于点，

在抛物线上，设坐标为，
则，易证，，
，，
点坐标为点在抛物线上，
，解得，坐标为，
坐标为，
易得直线为．
根据抛物线的对称性可得直线另解为．

解析