Question

如图，DP平分∠ABC，PB平分∠ABC，求证：∠P=

1

2

（∠A+∠C）

Answer 1

分析：根据三角形外角性质可得∠CMP=∠C+∠CDP=∠P+CBP，∠ANP=∠P+∠ADP=∠A+∠ABP，两式相加易得∠P+∠CBP+∠P+∠ADP=∠C+∠CDP+∠A+∠ABP，而DP、BP是∠ADC、∠ABC的角平分线，易求∠CDP=∠ADP，∠CBP=∠ABP，那么2∠P=∠C+∠A，从而易证．

解答：证明：如右图所示，
∵∠CMP=∠C+∠CDP=∠P+∠CBP，∠ANP=∠P+∠ADP=∠A+∠ABP，
∴∠P+∠CBP+∠P+∠ADP=∠C+∠CDP+∠A+∠ABP，
又∵DP、BP是∠ADC、∠ABC的角平分线，
∴∠CDP=∠ADP，∠CBP=∠ABP，
∴2∠P=∠C+∠A，
∴∠P=

1

2

（∠A+∠C）．

点评：本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题的关键是灵活运用三角形外角性质、以及等式性质．