Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2 ．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示，DE即为所求；

（2）解：由题可得，AE= AC= ，∠A=30°，

∴Rt△ADE中，DE= AD，

设DE=x，则AD=2x，

∴Rt△ADE中，x2+（ ）2=（2x）2，

解得x=1，

∴△ADE的周长a=1+2+ =3+ ，

∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1，

∴当a=3+ 时，T=3（3+ ）+1=10+3 ．

【解析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段AC的垂直平分线DE；（2）根据Rt△ADE中，∠A=30°，AE= ，即可求得a的值，最后化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解含30度角的直角三角形(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．