Question

某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=-

1

20

x2+c且过顶点C（0，5）（长度单位：m）
（1）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m²，求购买地毯需多少元？
（2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并增加铺设斜面EG和HF，已知矩形EFGH的周长为27.5m，求增加斜面的长．

Answer 1

分析：（1）求出抛物线与x轴交点的坐标，AB的长度即可求得，再由已知顶点C的坐标，根据平移的性质求得地毯的总长度，进一步求得面积解决问题；
（2）设出抛物线点G的坐标，分别表示出矩形的长和宽，并利用矩形的周长求得长和宽，进一步利用矩形的性质及勾股定理解答问题．

解答：解：（1）因为顶点C（0，5），c=5，所以OC=5，
令y=0，即-

1

20

x2+5=0，
解得x₁=10，x₂=-10，
∴AB=10-（-10）=20，
∴地毯的总长度为：AB+2OC=20+2×5=30，
∴30×1.5×20=900（元）．
答：购买地毯需要900元．

（2）设G的坐标为(m，-

1

20

m2+5)，其中m＞0，
则EF=2m，GF=-

1

20

m2+5．
由已知得：2（EF+GF）=27.5，
即2(2m-

1

20

m2+5)=27.5，
解得：m₁=5，m₂=35（不合题意，舍去），
把m₁=5代入-

1

20

m2+5=-

1

20

×52+5=3.75．
∴点G的坐标是（5，3.75）．
∴EF=10，GF=3.75；
∴EG=

EF2+FG2

=

102+3.752

=

5 73

4

，
又∵EG=HF，
∴EG+HF=

5 73

2

．
答：斜面的长为

5 73

2

．

点评：此题主要考查二次函数图象与坐标轴交点坐标，矩形的性质，勾股定理，是一道数形结合的好题．