题目内容

已知直线y=- $数学公式$ x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B和点D（11，6）．
（1）求AB、BD的长度，并证明△ABD是直角三角形；
（2）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；
（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A--B--D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿D--B--A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于的函数关系式．

解：

（1）令x=0，y=4，
令y=0，则- $\text{[math]}$ x+4=0，
解得x=3，
所以，A（0，4），B（3，0），
由勾股定理得，AB= $\text{[math]}$ =5，
BD= $\text{[math]}$ =10，
过点D作DH⊥y轴于H，DH=11，AH=2，
由勾股定理得，AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵AB²=25，BD²=100，
∴AB²+BD²=AD²，
∴△ABD是直角三角形；

（2）设OC长为x，由等腰三角形以及勾股定理得到x²+4²=（11-x）²+6²，
解得x= $\text{[math]}$ ，
所以，C（ $\text{[math]}$ ，0）；

（3）设t秒时相遇，由题意得，t+t=5+10，
解得t=7.5，
点P在AB上时，0≤t≤5，PB=5-t，BQ=10-t，
PQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
点P、Q都在BD上重合前，5＜t≤7.5，PQ=5+10-t-t=15-2t，
重合后，7.5＜t≤10，PQ=t+t-5-10=2t-15，
点Q在AB上时，10＜t≤5，PB=t-5，BQ=t-10，
PQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）令x=0，y=0分别求解即可得到点A、B的坐标，然后利用勾股定理列式计算即可得到AB、BD，过点D作DH⊥y轴于H，然后求出DH、AH，再利用勾股定理列式计算求出AD，然后根据勾股定理逆定理证明即可；
（2）设OC=x，根据等腰三角形两腰相等利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）求出点P、Q相遇时的t值，然后分点P在AB上，点P、Q都在BD上重合前和重合后两种情况，点Q在AB上四种情况讨论求解．
点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解方法，勾股定理的应用，等腰三角形两腰相等的性质，难点在于（3）要分情况讨论．