Question

如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．

（1）求AD的长；
（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；
②根据直角三角形面积求出PD×DC×

1

2

=15即可求出t；
③根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．

解答：解：（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，
∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，
∴AD²=AC²-CD²
∴AD=12cm．

（2）AP=t，PD=12-t，
又∵由△PDM面积为

1

2

PD×DC=15，
解得PD=6，∴t=6．

（3）假设存在t，
使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．
①若点M在线段CD上，
即 0≤t≤

5

2

时，PD=12-t，DM=5-2t，
由S_△PMD=

1

12

S_△ABC，
即

1

2

×(12-t)(5-2t)=5，
2t²-29t+50=0
解得t₁=12.5（舍去），t₂=2．（2分）
②若点M在射线DB上，即

5

2

≤t≤12．
由S_△PMD=

1

12

S_△ABC
得

1

2

(12-t)(2t-5)=5，
2t²-29t+70=0
解得 t 1=

29+ 281

4

，t 2=

29- 281

4

．（2分）
综上，存在t的值为2或

29+ 281

4

或

29- 281

4

，使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．（1分）

点评：此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件．