Question

直角三角形AOB在平面直角坐标系中如图所示，O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB=2，∠BAO=30°，将△AOB沿直线BE折叠，使得OB边落在AB上，点O与点D重合．
（1）求直线BE的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）点P是x轴上的动点，使△PAB是等腰三角形，直接写出P点的坐标；
（4）点M是直线BE上的动点，过M点作AB的平行线交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以点M、N、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有M点的坐标；如果不存在说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠BAO=30°
∴∠ABO=60°，
∵沿BE折叠O．D重合
∴∠EBO=30°，
OE=BE，
设OE=x，
则（2x）²=x²+，
∴x=2，
即 BE=4，
E（-2，0），
设Y=kx+b代入得；

解得，
∴直线BE的解析式是：，

（2）过D作DG⊥OA于G，
∵沿BE折叠O、D重合，
∴DE=2，
∵∠DAE=30°
∴∠DEA=60°，∠ADE=∠BOE=90°，
∴∠EDG=30°，
∴GE=1，DG=，
∴OG=1+2=3，
∴D的坐标是：D；

（3）P₁（-2，0）；P₂（6，0）；；；

（4）存在，
过D作DM₁⊥y轴交BE于M，过M₁作AB平行线交y轴于N₁，
则M₁的横坐标是x=-3，代入直线BE的解析式得：
y=-，
∴M₁（-3，-），
②过D作DN₂∥BE交y轴于N₂，过N₂作N₂M₂∥AB交直线EB于M₂，
∵D的横坐标是-3，
∴M₂的横坐标是3，
∵M₁的坐标是（-3，-），D（-3，），
∴DM₁=+=2=NB，
∵BO=2，
∴M₂的纵坐标是2+2+=5，
∴M₂（3，5），
∴M点的坐标是：（-3，-）和（3，5）．
分析：先利用直角三角形的性质（直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）和勾股定理求出点的坐标E（-2，0），进一步用待定系数法求出一次函数的解析式y=x+2．
点评：解此题的关键是用两点坐标用待定系数法求出解析式，再利用平行线间的距离处处相等求出点的横坐标．利用直角三角形的性质和勾股定理用方程求出点的纵坐标，注意一题多解．