Question

如图，在直角坐标系中，O为原点，A（4，12）为双曲线y=（x＞0）上的一点。

（1）求k的值；
（2）过双曲线上的点P作PB⊥x轴于B，连接OP，若Rt△OPB两直角边的比值为，试求点P的坐标；
（3）分别过双曲线上的两点P₁、P₂，作P₁B₁⊥x轴于B₁，P₂B₂⊥x轴于B₂，连接OP₁、OP₂，设Rt△OP₁B₁、Rt△OP₂B₂的周长分别为l₁、l₂，内切圆的半径分别为r₁、r₂，若，试求的值。

Answer 1

解：（1）依题意得，k=48； （2）由（1）得双曲线解析式为， 设P（m，n），∴即mn=48， 当时，即，可设m=z，n=4z， ∴，解得， ∴， ∴， 当时，同理可求得； （3）在Rt△中，设， 则，由（2）得=48， 在Rt△中，设， 则，由（2）得=48， ∵， ∴，即， 故，又∵， ∴，即得。