Question

在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么
sinA=，cosA=，tanA=，cotA=

为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P 和原点（0，0）的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：
sinα=，cosα=，tanα=，cotα=
我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，每题4分，共16分
（1）若270°＜α＜360°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是______；
（2）若角α的终边与直线y=2x重合，则sinα+cosα=______；
（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα=，则tanα______；
（4）若 0°≤α≤90°，则sinα+cosα 的取值范围是______．

Answer 1

解：（1）∵270°＜α＜360°，∴x＞0，y＜0，
∴角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是cosα．

（2）∵角α的终边与直线y=2x重合，
∴sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-．
∴sinα+cosα=或sinα+cosα=-．

（3）cosα==，则r=2，
∴x=，
∴tanα==-=-．

（4）若 0°≤α≤90°，设OP=1，
则sinα+cosα=x+y，
∵当α=0°时，x+y=x=OP=1，
当α≠0时，根据三角形的两边之和大于第三边，则x+y＞1，
因而sinα+cosα≥1，
∵x²+y²=1，
∴（x+y）²-2xy=1，
∴（x+y）²=1+2xy≤1+（x²+y²），
∵当x=y时，（x+y）²的值最大，当x=y时，x=y=，
∴（x+y）²≤2．
∴x+y≤
故其取值范围为：[1，]
故答案为：cosα，，-，[1，]．
分析：根据题中所给的第二种定义计算各题即可．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，有一定难度，读懂新定义的是关键．