Question

如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.
【小题1】连结，证明：；

【小题2】如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

【小题3】如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线.

Answer 1

【小题1】

∴∠DF=∠FE.
∴.
【小题2】
解：如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.

∵点E是半圆圆弧的中点，
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==，
∵AQ是半圆的切线，
∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，

【小题3】
（3） 证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，
连接DR、AD、DM.
 

 
∵F是BC边的中点，∴.
∴BR=CS，
由（2）已证∠CAQ=90°, AC=AQ,
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3,
同理：∠2=∠4,
∴，
∴AM=CS，
∴AM=BR，
同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,
∴∠ADB=∠ARB="90°," ∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，
且∠DBR+∠DAR=180°,
∴∠5="∠8," ∠6=∠7,
∵∠DAM+∠DAR=180°,
∴∠DBR=∠DAM
∴，
∴∠5=∠9,
∴∠RDM=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB,又AB是半圆直径，


即 .
∵ ,
∴ 过点Q有两条不同的直线和同时与AF垂直.
这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾,因此假设错误.
所以PA是是半圆的切线.

解析