Question

如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.

（1）连结，证明：；
（2）如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

（3）如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线

Answer 1

（1）证明略
（2）
（3）证明略解析:
（1）证明：如图一，∵，，F分别是AB，AC，BC边的中点，

∴F∥AC且F =A，F∥AB且F =A，
∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC,
∴∠BF=∠CF
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，
∴F =A=E，F =A=D，       ……………………….2分
∠BD =90°，∠CE =90°，
∴∠BD=∠CE.
∴∠DF=∠FE.
∴.                  ………………………….3分
（2）解：如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.

∵点E是半圆圆弧的中点，
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==，
∵AQ是半圆的切线，
∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ="90°"   
∴AQ=AC=AG=
同理：∠BAP=90°，AB=AP=
∴CG=,∠GAB=∠QAP
∴.                                            ……………………..5分
∴PQ=BG
∵∠ACB=90°，
∴BC==
∴BG==
∴PQ=.                 …………………..6分
（3） 证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM.

∵F是BC边的中点，∴.
∴BR=CS，
由（2）已证∠CAQ="90°," AC=AQ,
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3,
同理：∠2=∠4,
∴，
∴AM=CS，
∴AM=BR，
同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,
∴∠ADB=∠ARB="90°," ∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，
且∠DBR+∠DAR=180°,
∴∠5=∠8, ∠6=∠7,
∵∠DAM+∠DAR=180°,
∴∠DBR=∠DAM
∴，
∴∠5=∠9,
∴∠RDM=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB,又AB是半圆直径，
∴PA是半圆的切线.                ……………………..8分
证法二：假设PA不是是半圆的切线，如图四，

过点A作半圆的切线交BD的延长线于点，则点异于点P，连结，设直线FA与PQ的垂足为M，直线FA与的交点为.延长AF至N，使得AF=FN，连结BN，CN，由于点F是BC中点，所以四边形ABNC是平行四边形.
易知，，
∵AQ是半圆的切线,
∴∠QAC=90°，同理.
∴.
∴.
由（2）可知，,
∴.
∴.
∵,
∴.
即 .
∴.
即 .
∵,
∴ 过点Q有两条不同的直线和同时与AF垂直.
这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾,
因此假设错误.所以PA是是半圆的切线.