Question

【题目】如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点在线段（点不与重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）时，线段有最大值．最大值是；（3）时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为．

【解析】

（1）将点的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）设，则，由得出比例线段，可表示的长，利用二次函数的性质可求出线段的最大值；

（3）过点作轴交于点，由即可求解．

解：（1））∵抛物线经过，，

把两点坐标代入上式，，

解得：，

故抛物线函数关系表达式为；

（2）∵，点，

∴，

∵正方形中，，

∴，

，

∴，

又∵，

∴，

∴，

设，则，

∴，

∴，

∵，

∴时，线段长有最大值，最大值为．

即时，线段有最大值．最大值是．

（3）存在．

如图，过点作轴交于点，

∵抛物线的解析式为，

∴，

∴点坐标为，

设直线的解析式为，

∴，

∴，

∴直线的解析式为，

设，则，

∴，

∴，

∵，

∴时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为．