Question

（2012•海南）如图，顶点为P（4，-4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，
（1）求该二次函数的关系式；
（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①证明：∠ANM=∠ONM；
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由二次函数的顶点坐标，设出二次函数的顶点式，再由二次函数过原点，将原点坐标代入设出的解析式中，确定出a的值，即可求出二次函数的解析式；
（2）①过A作AH垂直于直线l，直线l与x轴交于点D，由A在二次函数图象上，设A横坐标为m，将x=m代入二次函数解析式，表示出纵坐标，确定出A的坐标，再由O的坐标，表示出直线AO的解析式，进而表示出M，N及H的坐标，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ANM，化简后得到tan∠ONM=tan∠ANM，可得出∠ONM=∠ANM，得证；
②△ANO能为直角三角形，理由为：分三种情况考虑：若∠ONA为直角，由①得到∠ANM=∠ONM=45°，可得出三角形AHN为等腰直角三角形，得到AH=HN，将表示出的AH及HN代入，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为0或4±

2

，进而得到此时A与P重合，不合题意，故∠ONA不能为直角；若∠AON为直角，利用勾股定理得到OA²+ON²=AN²，由A的坐标，利用勾股定理表示出OA²，由OD及DN，利用勾股定理表示出ON²，由AH及HN，利用勾股定理表示出AN²，代入OA²+ON²=AN²，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4±4

2

或0，然后判断∠AON是否为直角；若∠NAO为直角，则有△AMN∽△DMO∽△DON，由相似得比例，将各自的值代入得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4，此时A与P重合，故∠NAO不能为直角，综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能为直角三角形．

解答：解：（1）∵二次函数的顶点坐标为（4，-4），
∴设二次函数的解析式为y=a（x-4）²-4，
又二次函数过（0，0），
∴0=a（0-4）²-4，解得：a=

1

4

，
∴二次函数解析式为y=

1

4

（x-4）²-4=

1

4

x²-2x；
（2）①证明：过A作AH⊥l于H，l与x轴交于点D，如图所示：

设A（m，

1

4

m²-2m），又O（0，0），
∴直线AO的解析式为y=

1 4 m2-2m

m

x=（

1

4

m-2）x，
则M（4，m-8），N（4，-m），H（4，

1

4

m²-2m），
∴OD=4，ND=m，HA=m-4，NH=ND-HD=

1

4

m²-m，
在Rt△OND中，tan∠ONM=

OD

DN

=

4

m

，
在Rt△ANH中，tan∠ANM=

HA

HN

=

m-4

1 4 m2-m

=

4(m-4)

m(m-4)

=

4

m

，
∴tan∠ONM=tan∠ANM，
则∠ANM=∠ONM；
②△ANO能为直角三角形，理由如下：
分三种情况考虑：
（i）若∠ONA为直角，由①得：∠ANM=∠ONM=45°，
∴△AHN为等腰直角三角形，
∴HA=NH，即m-4=

1

4

m²-m，
整理得：m²-8m+16=0，即（m-4）²=0，
解得：m=4，
此时点A与点P重合，故不存在A点使△ONA为直角三角形；
（ii）若∠AON为直角，根据勾股定理得：OA²+ON²=AN²，
∵OA²=m²+（

1

4

m²-2m）²，ON²=4²+m²，AN²=（m-4）²+（

1

4

m²-2m+m）²，
∴m²+（

1

4

m²-2m）²+4²+m²=（m-4）²+（

1

4

m²-2m+m）²，
整理得：m（m²-8m-16）=0，
解得：m=0或m=4+4

2

或4-4

2

（舍去），
当m=0时，A点与原点重合，故∠AON不能为直角，
当m=4+4

2

，即A（4+4

2

，4）时，N为第四象限点，成立，故∠AON能为直角；
（iii）若∠NAO为直角，可得∠NAM=∠ODM=90°，且∠AMN=∠DMO，
∴△AMN∽△DMO，
又∠MAN=∠ODN=90°，且∠ANM=∠OND，
∴△AMN∽△DON，
∴△AMN∽△DMO∽△DON，
∴

MD

OD

=

OD

ND

，即

8-m

4

=

4

m

，
整理得：（m-4）²=0，
解得：m=4，
此时A与P重合，故∠NAO不能为直角，
综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO能为直角三角形，当m=4+4

2

，即A（4+4

2

，4）时，N为第四象限点，成立，故∠AON能为直角．

点评：此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，两点坐标确定一次函数解析式，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，本题（2）中的第②小问利用的是反证法，先假设结论成立，利用逻辑推理的方法得出与已知条件，定理，公理矛盾，可得出假设错误，原结论不成立．