Question

（2013•太原二模）如图，在直角坐标系中，等边△AOB的顶点A的坐标是（0，6），点B在第一象限，抛物线y=ax²-

2 3

3

x经过点B，与x轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式和∠ABC的度数；
（2）点D是△AOB的边上的一个动点，不与点O，B重合，若△COD是等腰三角形，则点D的坐标为

D₁（

3

，1），D₂（

3

，5），D₃（0，2

3

），D₄（3，

3

）

；
（3）点P是x轴上的一个动点，将△AOP绕点A旋转得到△ABP′．
①当点P与点C重合时，判断点P′是否在（1）中的抛物线上并说明理由；
②设△POP′的面积为S，直接写出S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过点B作BM⊥x轴于M，根据点A的坐标求出OA的长，再根据等边三角形的性质求出OB，然后求出∠BOM=30°，再解直角三角形求出BM，OM，从而得到点B的坐标，代入抛物线解析式计算求出a的值，再令y=0，解方程求出点C的坐标，求出CM的长，再根据勾股定理列式求出BC的长，然后求出∠OBC=∠BOC=30°，从而求出∠ABC=90°；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作OC的垂直平分线，与OB、AB的交点即为所求的点D，以点O为圆心，以OC的长度为半径画圆，与OA、OB的交点也是所求作的点D，然后分别解直角三角形求出坐标即可；
（3）①点P与点C重合时，根据旋转的性质可得OP=BP′，∠ABP′=∠AOC=90°，然后求出点P、B、P′三点共线，过点P′作PN⊥x轴于N，求出PP′的长度以及∠P′PN=60°，解直角三角形求出P′N、PN，再求出ON，从而得到点P′的坐标，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行验证即可．
②根据BC=2

3

，∠ABC=90°，分（i）x＜-2

3

，（ii）-2

3

＜x＜0，（iii）x＞0三种情况，分别过点B作BE⊥y轴于E，过点P′作P′F⊥BE于F，根据等边三角形的性质求出OE，再解直角三角形求出PF，然后求出点P′到OP的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）如图，过点B作BM⊥x轴于M，
∵A（0，6），
∴OA=6，
∵△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=6，∠AOB=∠ABO=60°，
∴∠BOM=90°-60°=30°，
在Rt△BOM中，∠BMO=90°，
BM=

1

2

OB=

1

2

×6=3，
OM=

OB2-BM2

=

62-32

=3

3

，
∴点B（3

3

，3），
∵抛物线y=ax²-

2 3

3

x经过点B，
∴a（3

3

）²-

2 3

3

×3

3

=3，
解得a=

1

3

，
∴抛物线的解析式为y=

1

3

x²-

2 3

3

x，
令y=0，则

1

3

x²-

2 3

3

x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=2

3

，
∴点C的坐标为（2

3

，0），
∴OC=2

3

，
CM=OM-OC=3

3

-2

3

=

3

，
在Rt△BCM中，BC=

BM2+CM2

=

32+ 3 2

=2

3

，
∴OC=BC，
∴∠OBC=∠BOC=30°，
∴∠ABC=60°30°=90°；

（2）如图，①点D在OC的垂直平分线上时，点D的横坐标为

1

2

×2

3

=

3

，
点D在OB上时，点D的纵坐标为

3

×

3

3

=1，
点D在AB上时，点D的纵坐标为6-1=5，
此时D₁（

3

，1），D₂（

3

，5），
②OC是等腰三角形的腰长时，以点O为圆心，以OC长为半径画圆，
点D在OA上时，点D的坐标为（0，2

3

），
点D在OB上时，点D的横坐标为2

3

•cos30°=2

3

×

3

2

=3，
纵坐标为2

3

•sin30°=2

3

×

1

2

=

3

，
此时D₃（0，2

3

），D₄（3，

3

）；
综上所述，△COD是等腰三角形时，点D₁（

3

，1），D₂（

3

，5），D₃（0，2

3

），D₄（3，

3

）；

（3）①如图，点P与点C重合时，可得点P（2

3

，0），
∴OP=2

3

，
∵△AOP绕点A旋转得到△ABP′，
∴OP=BP′=2

3

，∠ABP′=∠AOC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠ABP′=90°+90°=180°，
∴点P、B、P′三点共线，
过点P′作PN⊥x轴于N，
在Rt△P′PN中，PP′=PB+BP′=2

3

+2

3

=4

3

，
且∠P′PN=∠OBP+∠BOP=30°+30°=60°，
∴P′N=PP′sin60°=4

3

×

3

2

=6，PN=PP′cos60°=4

3

×

1

2

=2

3

，
∴ON=OP+PN=2

3

+2

3

=4

3

，
∴点P′的坐标为（4

3

，6），
当x=4

3

时，y=

1

3

×（4

3

）²-

2 3

3

×4

3

=8≠6，
∴点P′不在抛物线y=

1

3

x²-

2 3

3

x上；
②过点B作BE⊥y轴于E，过点P′作P′F⊥BE于F，
则∠ABE=∠OBE=30°，
∠P′BF=90°-30°=60°，
∵△AOP绕点A旋转得到△ABP′，
∴OP=BP′=x，∠ABP′=∠AOC=90°，
∵BC=2

3

，∠ABC=90°，
∴（i）如图1，x＜-2

3

时，点P′在x轴下方，
OE=

1

2

OA=

1

2

×6=3，
P′F=|-x|cos60°=-

3

2

x，
∴点P′到OP的距离为：-

3

2

x-3，
∴△POP′的面积为S=

1

2

|x|•（-

3

2

x-3）=

3

4

x²+

3

2

x，

（ii）如图2，-2

3

＜x＜0时，点P′在x轴上方，
点P′到OP的距离为：3-P′F=3-（-

3

2

x）=

3

2

x+3，
∴△POP′的面积为S=

1

2

|x|•（

3

2

x+3）=-

3

4

x²-

3

2

x，
（iii）如图3，x＞0时，点P在x轴上方，P′F=

3

2

x，
点P′到OP的距离为：3+P′F=3+

3

2

x，
∴△POP′的面积为S=

1

2

x•（

3

2

x+3）=

3

4

x²+

3

2

x，
综上所述，S=

3 4 x2+ 3 2 x(x＜2 3 ) - 3 4 x2- 3 2 x(-2