Question

如图，⊙O₁与⊙O₂外切于P点，过⊙O₁上一点B作⊙O₁的切线，交⊙O₂于C、D，直线BP交⊙O₂于点A．
（1）求证：∠CBP=∠ADP；
（2）求证：AD²+BC•BD=AB²；
（3）设⊙O₂的面积为S₂，⊙O₁的面积为S₁；且S₂：S₁=9：1，当AD=4

3

，求BP的长．

Answer 1

分析：（1）本题可利用两圆外切的条件进行求解，过P作两圆的公切线，交BD于M．由于MP，MB同为⊙O₁的切线，不难得出∠MBP=∠MPB，而∠MPB=∠NPA，根据弦切角定理又可得出∠NPA=∠ADP，将相等的角进行置换后即可得出所求的结论；
（2）所求的线段中，BC•BD=BP•AB，将BC•BD移到等号右边可得出AB²-BC•DB=AB²-BP•AB=AB（AB-BP）=AB•AP，因此只需证明AD²=AB•PA即可，即证明△ADP和△ABD相似．这两个三角形中已知了一个公共角和（1）得出的一组相等角因此两三角形相似，由此得证；
（3）根据两圆的面积比可知两圆的半径比为3：1，要想利用这个条件需要构建相似三角形．连接O₁O₂，O₁B，O₂A，不难得出△AO₂P∽△BO₁P，因此BP与AP的比例关系正好等于两圆的半径比，在根据（2）中证得的AD²=AP•AB即可求出BP的长．

解答：（1）证明：过D点作两圆的公切线PN交BD于M
∴∠CBP=∠MPB=∠APN
又∵MN为⊙O₂的切线
∴∠ADP=∠APN
∴∠CBP=∠ADP；

（2）证明：连接PC
由切割定理得BC•BD=BP•AB
由（1）可知∠CBD=∠ADP
又∵∠A公共
∴△ADP∽△ABD
∴

AD

AP

=

AB

AD

∴AD²=AB•AP=AB•（AB-BP）=AB²-AB•BP
∴AD²=AB²-BC•BD
即AD²+BC•BD=AB²；

（3）解：设⊙O₂的半径为R，⊙O₁的半径为r
∴

πR2

πr2

=

9

1

∴R：r=3：1
连接AO₂，BO₁，O₁O₂，则O₁O₂经过P点
∴△AO₂P∽△BO₁P
∴

O2P

O1P

=

AP

BP

=

3

1

设BP=x
∴AP=3x
从而AB=4x
∵AD²=AP•AB
∴（4

3

）²=3x•4x
∴x=2或x=-2（舍去），即BP=2．

点评：本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、切割线定理等知识点．本题的综合性较强．