题目内容
如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，AC与BD相交于点P．（1）判断△APB与△DPC是否相似？并说明理由；
（2）设∠BPC=α，若sinα是方程5x2+7x-6=0的根，求cosα的值；
（3）在（2）的条件下，求弦CD的长．
分析：（1）根据圆中弧相等的性质得出∠A=∠D，∠B=∠C，从而得出三角形相似；
（2）解一元二次方程，然后根据三角函数的性质即可得出答案；
（3）根据余弦及三角形相似比例关系即可得出答案．
（2）解一元二次方程，然后根据三角函数的性质即可得出答案；
（3）根据余弦及三角形相似比例关系即可得出答案．
解答：解：（1）相似．
证明：∵
=
，
∴∠A=∠D，
∵
=
，
∴∠B=∠C，
∴△APB∽△DPC；
（2）5x2+7x-6=0，
（5x-3）（x+2）=0，
x1=
，x2=-2(舍去)，
∴sinα=
，
cosα=
；
（3）∵AB为直径，
∴∠BCP=90°，
∵cosα=
，
∴
=
，
∵△APB∽△DPC，
∴
=
，
=
，
∴CD=8．
证明：∵
. |
| BC |
. |
| BC |
∴∠A=∠D，
∵
. |
| AD |
. |
| AD |
∴∠B=∠C，
∴△APB∽△DPC；
（2）5x2+7x-6=0，
（5x-3）（x+2）=0，
x1=
| 3 |
| 5 |
∴sinα=
| 3 |
| 5 |
cosα=
| 4 |
| 5 |
（3）∵AB为直径，
∴∠BCP=90°，
∵cosα=
| 4 |
| 5 |
∴
| PC |
| BP |
| 4 |
| 5 |
∵△APB∽△DPC，
∴
| PC |
| BP |
| CD |
| AB |
| 4 |
| 5 |
| CD |
| 10 |
∴CD=8．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质、解一元二次方程，三角函数等，把要求的线段的比转化到一个直角三角形中的两条直角边的比，难度适中．
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