题目内容

如图在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，且B点的坐标是（2，5），抛物线y=ax²随顶点P沿折线O-C-B-A运动．抛物线的顶点P与点C重合时，抛物线恰好经过点A．
（1）求a的值；
（2）当抛物线的顶点落在BC边上时，抛物线与OC、AB的交点分别是点M、N，连结MN；
①若抛物线的顶点P恰好在BC的中点时，求tan∠PMN的值；
②若∠MPN=90°时，求此时P点的坐标．

解（1）当抛物线的顶点P与C重合时，设抛物线的函数关系式为y=ax²+5，
将A（2，0）代入y=ax²+5，得a=- $\text{[math]}$ ；

（2）设P（t，5），此时抛物线的关系式可设为y=- $\text{[math]}$ （x-t）²+5，
①抛物线的顶点P恰好在BC的中点，所以点P坐标为（1，5），
∴y=- $\text{[math]}$ （x-1）²+5，
∴抛物线与OC交于M（0， $\text{[math]}$ ），与AB交于N（2， $\text{[math]}$ ）
∴CM= $\text{[math]}$ ，PC=1
由抛物线的对称性，得 MN∥BC∴∠PMN=∠CPM
∴tan∠PMN=tan∠CPM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

②∵抛物线与OC，AB的交点为M、N
∴把x=0，x=2别代入y=- $\text{[math]}$ （x-t）²+5，得
M（0，5- $\text{[math]}$ t²），N （2，5- $\text{[math]}$ （2-t）²）
∴CM= $\text{[math]}$ t²，BN= $\text{[math]}$ （2-t）²
由∠PMN=90°，证明△PCM∽△NBP
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴t₁= $\text{[math]}$ ，t₂= $\text{[math]}$
∴P₁（ $\text{[math]}$ ，5）或P₂（ $\text{[math]}$ ，5）．
分析：（1）根据四边形OABC可以得到A的坐标是（2，0），设抛物线的函数关系式为y=ax²+5，把A的坐标代入即可求得a的值；
（2）①抛物线的顶点P恰好在BC的中点，所以点P坐标为（1，5），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，则与OC，AB的交点即可求得，然后利用三角函数的定义即可求解；
②把x=0，x=2别代入y=- $\text{[math]}$ （x-t）²+5即可求得抛物线与OC，AB的交点坐标，易证明△PCM∽△NBP，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得t的值，则P的坐标可以得到．
点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数以及相似三角形的判定与性质的综合应用，正确求得函数的解析式是关键．