Question

已知：函数y＝ax²－(3a＋1)x＋2a＋1(a为常数)．

(1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；

(2)若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A(x₁，0)，B(x₂，0)两点，与y轴相交于点C，且x₂－x₁＝2．

①求抛物线的解析式；

②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．

Answer 1

解：(1)①当a＝0时，y＝－x＋1，有两个交点(0，1)，(1，0)；

②当a≠0且图象过原点时，2a＋1＝0，a＝－，有两个交点(0，0)，(1，0)；

③当a≠0且图象与x轴只有一个交点时，令y＝0有：

△＝(3a＋1)²－4a(2a＋1)＝0．解得a＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)；

综上得：a＝0或－或－1时，函数图象与坐标轴有两个交点．

(2)①依题意令y＝0时，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

由x₂－x₁＝2得：(x₂－x₁)²＝4，则()²－＝4．

化简得：3a²－2a－1＝0．解得：a₁＝－，a₂＝1．

∵△＝(3a＋1)²－4a(2a＋1)＝(a＋1)²＞0，且a＞0，

∴a＝－应舍去．a＝1符合题意．

∴抛物线的解析式为y＝x²－4x＋3．(注：其它方法，请参照给分)  

②令y＝0得：x²－4x＋3＝0．解得：x＝1或3．

由x₂－x₁＝2＞0知x₂＞x₁，∴A(1，0)，B(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)．

如图，过D作DE⊥BC于E，则有OB＝OC＝3，OD＝1．

∴DE＝BD·sin45°＝2．

而CD＝＝，

∴在Rt△CDE中，sin∠DCB＝＝＝．