Question

如图，△OAB是边长为2＋的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为，折痕为EF．

(1)当E∥x轴时，求点和E的坐标；

(2)当E∥x轴，且抛物线y＝－x²＋bx＋c经过点和E时，求该抛物线与x轴的交点的坐标；

(3)当点在OB上运动但不与点O、B重合时，能否使△EF成为直角三角形？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请你说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)当平行于x轴时，∠=．因为△ABO为等边三角形，所以∠OE=，∠EO=，O=ED．设O=a，则OE=2a． 　　在Rt△OE中，tan∠OE=，即=，所以E=a=AE． 　　∵AE+OE=2+，2a+=2+，∴a=O=1，E=． 　　∴(0，1)，E(，1) 　　(2)由题设点(0，1)，E(，1)在y=x2+bx+c的图象上，则得方程组 　　解得∴y=－＋1．当y=0时．得－x2＋x＋1=0． 　　解得x1=，x2= 　　∴抛物线与x轴的交点坐标为(2,0)，(－，0) 　　(3)不能．因为要使△EF为直角三角形，则角只能是∠EF或∠FE．若∠EF=，因为△FE与△FAE关于FE对称，所以∠EF=∠AEF=，∠AE－．此时A、E、应在同一直线上，点应与O点重合，这与题设矛盾，所以∠EF≠，即△EF不能为直角三角形．同理．∠FE=也不成立，即△EF不能为直角三角形．