题目内容

精英家教网如图,△OAB是边长为2的等边三角形,过点A的直线y=-
3
x
+m与x轴交于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)求过A、O、E三点的抛物线解析式;
(3)若点P是(2)中求出的抛物线AE段上一动点(不与A、E重合),设四边形OAPE的面积为S,求S的最大值.
分析:(1)(2)由图可作AF⊥x轴于F,根据直角三角形性质,用待定系数求E点坐标和的抛物线解析式;
(3)再作作PG⊥x轴于G,将四边形OAPE的面积S用x0来表示,将问题转化为求函数最值问题.
解答:精英家教网解:(1)作AF⊥x轴于F,
∴OF=OAcos60°=1,AF=OFtan60°=
3

∴点A(1,
3
)(1分)
代入直线解析式,
-
3
3
×1+m=
3

∴m=
4
3
3

y=-
3
3
x+
4
3
3

当y=0时,-
3
3
x+
4
3
3
=0

得x=4,∴点E(4,0)(3分)

(2)设过A、O、E三点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵抛物线过原点
∴c=0
a+b=
3
16a+4b=0

a=-
3
3
b=
4
3
3

∴抛物线的解析式为y=-
3
3
x2+
4
3
3
x
(6分)
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(3)作PG⊥x轴于G,设P(x0,y0
S四边形OAPE=S△AOF+S梯形AFGP+S△PGE
=
1
2
(
3
x0+3y0)=
1
2
(-
3
x
2
0
+5
3
x0)
(8分)
=-
3
2
(x0-
5
2
)2+
25
3
8

x0=
5
2
时,S最大=
25
8
3
.(10分)
点评:此题考查知识点多,但题难度不大,需作辅多条辅助线,在直角三角形中解题,将问题转化为求函数最值问题.
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