题目内容

| ||
3 |
(1)求点E的坐标;
(2)求过A、O、E三点的抛物线解析式;
(3)若点P是(2)中求出的抛物线AE段上一动点(不与A、E重合),设四边形OAPE的面积为S,求S的最大值.
分析:(1)(2)由图可作AF⊥x轴于F,根据直角三角形性质,用待定系数求E点坐标和的抛物线解析式;
(3)再作作PG⊥x轴于G,将四边形OAPE的面积S用x0来表示,将问题转化为求函数最值问题.
(3)再作作PG⊥x轴于G,将四边形OAPE的面积S用x0来表示,将问题转化为求函数最值问题.
解答:
解:(1)作AF⊥x轴于F,
∴OF=OAcos60°=1,AF=OFtan60°=
∴点A(1,
)(1分)
代入直线解析式,
得-
×1+m=
,
∴m=
∴y=-
x+
当y=0时,-
x+
=0
得x=4,∴点E(4,0)(3分)
(2)设过A、O、E三点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵抛物线过原点
∴c=0
,
∴
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x(6分)
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(3)作PG⊥x轴于G,设P(x0,y0)
S四边形OAPE=S△AOF+S梯形AFGP+S△PGE
=
(
x0+3y0)=
(-
+5
x0)(8分)
=-
(x0-
)2+
当x0=
时,S最大=
.(10分)
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∴OF=OAcos60°=1,AF=OFtan60°=
3 |
∴点A(1,
3 |
代入直线解析式,
得-
| ||
3 |
3 |
∴m=
4
| ||
3 |
∴y=-
| ||
3 |
4
| ||
3 |
当y=0时,-
| ||
3 |
4
| ||
3 |
得x=4,∴点E(4,0)(3分)
(2)设过A、O、E三点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵抛物线过原点
∴c=0
|
∴
|
∴抛物线的解析式为y=-
| ||
3 |
4
| ||
3 |

(3)作PG⊥x轴于G,设P(x0,y0)
S四边形OAPE=S△AOF+S梯形AFGP+S△PGE
=
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
x | 2 0 |
3 |
=-
| ||
2 |
5 |
2 |
25
| ||
8 |
当x0=
5 |
2 |
25 |
8 |
3 |
点评:此题考查知识点多,但题难度不大,需作辅多条辅助线,在直角三角形中解题,将问题转化为求函数最值问题.
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