Question

问题背景：

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系．

探究结论：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．

(1)当点D与点C重合时(如图2)，请你补全图形．由∠BAC的度数为________，点E落在AB上，容易得出BE与DE之间的数量关系为________；

(2)当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

拓展应用：

(3)如图4，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(，1)，点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C(x，y)在第一象限内时，求y与x的函数关系式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)60°，BE＝DE．(4分) 　　(2)完成画图如图．猜想：． 　　证明：取AB的中点F，连结EF． 　　∵，， 　　∴，． 　　∴△是等边三角形． 　　∴．① 　　∵△ADE是等边三角形， 　　∴， 　　．② 　　∴． 　　∴． 　　即．③ 　　由①②③得△ACD≌△AFE(SAS)． 　　∴． 　　∵F是AB的中点， 　　∴EF是AB的垂直平分线． 　　∴BE＝AE． 　　∵△ADE是等边三角形， 　　∴DE＝AE． 　　∴BE＝DE．(4分) 　　(3)如图，过A作AD⊥x轴，交x轴于D，由A(－，1)得∠AOD＝30°，过C分别作CE⊥OA，垂足为E，CF⊥x轴，垂足为F，则ΔACE≌ΔADB，得AE＝AD＝1，又∵OA＝2AD＝2，∴OA＝1，∴ΔACE≌ΔEOC，则CO＝AC＝CB，OF＝FB＝x，在RtΔCOF中，y2＋x2＝OC2＝AB2＝12＋(＋2x)2，得y2＝3x2＋4x＋4，∴y＝±(x＋2(取正)，即y＝x＋2(4分)