题目内容
（2012•徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O，且∠ABE=∠BCA．求证：（1）△BAE∽△BOA； （2）BO•BE=BC•AE．
分析：（1）利用梯形的性质得到∠EAB=∠CBA，从而证得△EBA∽△ACB，然后利用相似三角形的性质得到∠AEB=∠BAC，从而证明△BAE∽△BOA；
（2）根据上题证得的△BAE∽△BOA得到
=
，然后再利用∠BAC=∠OAB、∠EBA=∠BCA证得△OAB∽△BAC，从而得到
=
，再根据
=
得到BE•BO=AE•BC即可．
（2）根据上题证得的△BAE∽△BOA得到
| AE |
| BE |
| AO |
| AB |
| BO |
| BC |
| AO |
| AB |
| AE |
| BE |
| BO |
| BC |
解答：证明：（1）在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠EAB=∠CBA…（1分）
∵∠EBA=∠BCA，
∴△EBA∽△ACB…（2分）
∴∠AEB=∠BAC…（1分）
∵∠ABE=∠OBA
∴△BAE∽△BOA…（2分）
（2）∵△BAE∽△BOA，
∴
=
…（1分）
∵∠BAC=∠OAB，
∠EBA=∠BCA
∴△OAB∽△BAC…（2分）
∴
=
…（1分）
∴
=
…（1分）
∴BE•BO=AE•BC…（1分）
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠EAB=∠CBA…（1分）
∵∠EBA=∠BCA，
∴△EBA∽△ACB…（2分）
∴∠AEB=∠BAC…（1分）
∵∠ABE=∠OBA
∴△BAE∽△BOA…（2分）
（2）∵△BAE∽△BOA，
∴
| AE |
| BE |
| AO |
| AB |
∵∠BAC=∠OAB，
∠EBA=∠BCA
∴△OAB∽△BAC…（2分）
∴
| BO |
| BC |
| AO |
| AB |
∴
| AE |
| BE |
| BO |
| BC |
∴BE•BO=AE•BC…（1分）
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰梯形的性质，解题的关键是正确的利用相似三角形的性质得到对应角相等，从而得到证明三角形全等的条件．
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