Question

已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：（1）△ABE∽△DCA；
（2）BC²=2BE•CD．

Answer 1

分析：（1）易知∠B=∠C，只需再证明一对角相等即可．根据外角易证∠BAE=∠ADC．问题得证；
（2）根据勾股定理，BC²=2AB²，所以需证AB²=BE•CD．根据（1）易证．

解答：证明：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．                                （1分）
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°．                                     （1分）
而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，（1分）
∴∠BAE=∠CDA．                                           （1分）
∴△ABE∽△DCA．                                          （2分）

（2）由△ABE∽△DCA，得

BE

AB

=

AC

CD

．                       （2分）
∴BE•CD=AB•AC．                                           （1分）
而AB=AC，BC²=AB²+AC²，
∴BC²=2AB²．                                               （2分）
∴BC²=2BE•CD．                                            （1分）

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大．