Question

20、已知A为⊙O上一点，B为⊙A与OA的交点，⊙A与⊙O的半径分别为r、R，且r＜R．
（Ⅰ）如图，过点B作⊙A的切线与⊙O交于M、N两点．求证：AM•AN=2Rr；
（Ⅱ）如图，若⊙A与⊙O的交点为E、F，C是弧EBF上任意一点，过点C作⊙A的切线与⊙O交于P、Q两点，试问AP•AQ=2Rr是否成立，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AM•AN=2Rr，即证AM•AM=AD•AB，可通过证△ABM∽△AMD得出；
（Ⅱ）欲证AP•AQ=2Rr，即证AP•AQ=AD•AC，可通过证△AQC∽△APD得出．

解答：解：（Ⅰ）延长AO交⊙O于D，连接MD，
∵过点B作⊙A的切线与⊙O交于M、N两点
∴OA⊥MN，AM=AN
∵AD是⊙O的直径
∴∠AMD=∠ABM=90°
∵∠MAD=∠MAD
∴△ABM∽△AMD
∴AM：AB=AD：AM
∴AM：AB=AD：AN
∴AM•AN=2Rr；
（Ⅱ）延长AO交⊙O于D，连接PD，
∵过点C作⊙A的切线与⊙O交于P、Q两点，
∴CA⊥PQ
∵AD是⊙O的直径
∴∠APD=∠ACQ=90°
∵∠Q=∠D
∴△AQC∽△APD
∴AC：AQ=AD：AP
∴AP•AQ=2Rr．

点评：考查圆与圆的位置关系中乘积的形式，乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．