Question

探索与证明：

（1）如图14-1，直线m经过正三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点 D，E，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明；

（2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图14-2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．

 

Answer 1

 (1) 猜想：BD+CE=DE．………………………………………………………………1分

证明：由已知条件可知：∠DAB+∠CAE=120°，∠ECA+∠CAE=120°,

∴∠DAB=∠ECA．

在△DAB和△ECA中，∠ADB=∠AEC=60°，∠DAB=∠ECA，AB=CA，

∴△DAB≌△ECA（AAS）．

∴AD=CE，BD=AE．

∴BD+CE=AE+ AD=DE．…………………………………………………5分

(2) 猜想：CE－BD=DE．………………………………………………………………6分

证明：由已知条件可知：∠DAB+∠CAE=60°，∠ECA+∠CAE=60°,

∴∠DAB=∠ECA．

在△DAB和△ECA中，∠ADB=∠AEC=120°，∠DAB=∠ECA，AB=CA，

∴△DAB≌△ECA（AAS）．

∴AD=CE，BD=AE．

∴CE－BD=AD－AE=DE．………………………………………………10分