Question

若抛物线y=x²-（k-1）x-k-1与x轴的交点为A、B，顶点为C，则△ABC的面积最小值为

 

．

Answer 1

分析：求出A、B间距离的表达式和抛物线顶点纵坐标公式，根据三角形面积公式表示出三角形面积，将表达式转化为完全平方的形式，即可求出△ABC的面积最小值．

解答：解：∵|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(k-1)2-4(-k-1)

=

k2+2k+5

，
抛物线顶点纵坐标为：

4(-k-1)-(k-1)2

4

，
整理得，-

k2+2k+5

4

，
由于抛物线开口向上，
故三角形的高为

k2+2k+5

4

，
S_△ABC=

1

2

k2+2k+5

•

k2+2k+5

4

=

1

8

(k2+2k+5)3

=

1

8

[(k+1)2+4]3

，
当k=-1时，S_△ABC取得最小值，为1．
故答案为1．

点评：此题考查了抛物线与x轴两交点间距离的求法及抛物线顶点坐标的求法，将问题转化为完全平方式是解题的关键．