Question

如图，△ABC的面积为1，点D、G、E 和F分别在边AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB．则梯形DEFG面积的最大可能值为    ．

Answer 1

【答案】分析：首先设=x，可得=1-x，由DG∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得=1-x，然后由DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，证得△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CFG∽△CBA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADG，△BDE，△CGF的面积，则可求得S_梯形DEFG=1-x²-2（1-x）²，根据二次函数的性质，即可求得梯形DEFG面积的最大可能值．
解答：解：设=x，则=1-x，
∵DG∥BC，
∴=1-x，
∵DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，
∴△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CFG∽△CBA，
∴=x²，=（1-x）²，=（1-x）²，
∴S_梯形DEFG=1-x²-2（1-x）²=-3x²+4x-1=-3（x-）²+，
∴当x=时，即=，此时BD＜DA，梯形DEFG面积的最大值为．
故答案为：．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质以及平行线分线段成比例定理．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是利用相似三角形的性质求得二次函数，注意数形结合思想的应用．