Question

已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4,﹣）,且与y轴交于点C（0,2）,与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A,B两点的坐标；

（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小？若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,请说明理由；

 

Answer 1

【答案】

（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣x+2 ,A（2,0）,B（6,0）；

（2）存在一点P,使AP+CP的值最小,AP+CP的最小值为.

【解析】

试题分析：（1）根据知抛物线的顶点坐标,设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣,再根据抛物线经过（0,2）求出抛物线解析式,进而求出A,B两点的坐标；

（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值.

试题解析：（1）由题意,设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣（a≠0）

∵抛物线经过（0,2）

∴a（0﹣4）2﹣ =2

解得：a=

∴y=（x﹣4）2﹣

即抛物线的解析式为：y=x2﹣x+2

当y=0时,x2﹣x+2=0

解得：x=2或x=6

∴A（2,0）,B（6,0）；?

（2）存在,

由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4,

因为A、B两点关于l对称,连接CB交l于点P,则AP=BP,

所以AP+CP=BC的值最小

∵B（6,0）,C（0,2）

∴OB=6,OC=2

∴BC=,

∴AP+CP=BC=

∴AP+CP的最小值为.

考点：二次函数相关．