题目内容
【题目】（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝12，则AB的长度为 ；
（2）如图②，⊙O的半径为16，弦AB＝16，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值；
（3）如图③，在△ABC中AB＝AC＝8，∠CAB＝120°，D是BC的中点，E是平面内一点，且ED＝2，连接BE，将EB绕点E逆时针旋转120°，得到EB′，连接CB′、BB′，四边形ABB′C的面积是否存在最大值，若存在，求出四边ABB′C的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4
；（2）PM的最大值为16+8．（3）存在，四边形ABB′C的面积的最大值＝24+40．
【解析】
（1）如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AB即可．
（2）如图2中，连接OA，OB，OM，OP．首先证明△OAB是等边三角形，再根据PM≤OP+OM求出OM即可解决问题．
（3）如图3中，连接AD，AE，作DH⊥AB于H．首先证明△ABE∽△CBB′，推出△ABE的面积最大时，△CBB′的面积最大，此时四边形ABB′C的面积最大，求出△AEB的面积的最大值即可解决问题．
解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝
BC＝6，∠B＝∠C＝30°，
在Rt△ABH中，AB＝
故答案为4．
（2）如图2中，连接OA，OB，OM，OP．
∵OA＝OB＝AB＝16，
∴△OAB是等边三角形，
∵AM＝BM，
∴OM⊥AB，
OM＝OAsin60°＝8，
∵PM≤OM+OP，
∴PM≤16+8，
∴PM的最大值为16+8．
（3）如图3中，连接AD，AE，作DH⊥AB于H．
∵AC＝AB＝8，∠CAB＝120°，CD＝DB，
∴AD⊥BC，∠DAB=∠CAB＝60°，
∴AD＝ABcos60°＝4，DH＝ADsin60°＝2，
∵△ABC，△EBB′都是顶角为120°的等腰三角形，
∴∠ABC＝∠EBB
，
∴∠ABE＝∠CBB′，
∴△ABE∽△CBB′，
∴△ABE的面积最大时，△CBB′的面积最大，此时四边形ABB′C的面积最大，
∵DE＝2，
∴点E的运动轨迹是以D为圆心DE为半径的圆上运动，
当点E在HD的延长线上时，EH＝2+2，且EH⊥AB，此时△ABE的面积最大，最大面积＝×8×（2+2）＝8+8．
∵
，
∴△CBB′的面积的最大值＝24+24，
∴四边形ABB′C的面积的最大值＝×8×4+24+24＝24+40．
