Question

如图，把长方形ABCD沿AC折叠，AD落在AD′处，AD′交BC于点E，已知AB=2cm，BC=4cm．（长方形的对边相等，四个角都为直角）
（1）求证：AE=EC；   
（2）求EC的长；      
（3）求重叠部分的面积．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∵△ADC与△AD′C关于AC成轴对称
∴△ADC≌△AD′C，
∴∠DAC=∠D′AC，
∴∠D′AC=∠ACB，
∴AE=EC；

（2）∵AB=2cm，BC=4cm，
∴CD=2cm，AD=4cm．
设EC=x，就有AE=x，BE=4-x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得
4+（4-x）²=x²，
解得：x=2.5．
答：EC的长为2.5cm；

（3）∵S_△AEC=，
S_△AEC==2.5cm²．
答：重叠部分的面积为2.5cm²．
分析：（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出∠EAC=∠ECA，就可以得出AE=CE，
（2）设EC=x，就有AE=x，BE=4-x，在Rt△ABE中，由勾股定理就可以求出结论；
（3）根据（2）的结论直接根据三角形的面积公式就可以求出结论．
点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，平行线的性质的运用，解答时运用勾股定理求出EC的值是关键．