Question

若a、b为不相等的实数，且a²-3a+1=0，b²-3b+1=0，则

1

1+a2

+

1

1+b2

=

1

．

Answer 1

分析：根据已知得出a、b是方程x²-3x+1=0的两个根，求出a+b=3，ab=1，求出a²+b²=（a+b）²-2ab=7，把

1

1+a2

+

1

1+b2

通分后代入求出即可．

解答：解：∵a、b为不相等的实数，且a²-3a+1=0，b²-3b+1=0，
∴a、b是方程x²-3x+1=0的两个根，
∴a+b=3，ab=1，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=3²-2×1=7，
∴

1

1+a2

+

1

1+b2

=
=

1+b2+1+a2

(1+a2)(1+b2)

=

2+a2+b2

1+b2+a2+(ab)2

=

2+7

1+7+12

=1，
故答案为：1．

点评：本题考查了根与系数的关系的应用，注意：如果x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0（a、b、c为常数a≠0）的两根，x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．