Question

如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x²+bx+c顶点E在直线l上．

（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；

（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；

（3）设抛物线与y轴交于G点，当抛物线顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵直线l：y=x+2经过点B（x，1），

∴1=x+2，解得x=﹣2，

∴B（﹣2，1），

∴A（﹣2，0），D（﹣3，0），

∵抛物线经过A，D两点，

∴，解得，

∴抛物线经过A，D两点时的解析式为y═﹣x²﹣5x﹣6；

（2）∵顶点E（m，n）在直线l上，

∴n=m+2，

∴S=×1×（m+2）=m+1，

即S=m+1（m≠4）；

（3）如图，若以A，C，E，G为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EQ，AC∥EQ，

作EH∥y轴交过Q点平行于x轴的直线相交于H，则EH⊥QH，△EHQ≌△CDA，

∴QH=AD=1，

∴E的横坐标为±1，

∵顶点E在直线l上，

∴y=×（﹣1）+2=，或y=×1+2=

∴E（﹣1，）或（1，）．