题目内容

M、N两同学在做一种游戏，规定两人随机伸出一只手中的1根至5根手指中的任何一根，两手伸出的手指的和，若为2，3，4，8，9，10，则M胜，若为5，6，7，则N胜．

(1)用树形图分别求M、N两人获胜的概率；

(2)上面的游戏公平吗？若不公平，你能设计一个方案使游戏绝对公平吗？若能，请写出方案；若不能，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)画出如图所示的树形图

　　由图可知，和共有25种等可能性，其中和为2、3、4，8、9、10的共出现了12次，和为5、6、7共出现了13次，因此，M获胜的概率为P(M)，N获胜的概率为P(N)．

　　(2)这个游戏不公平，∵P(M)＜P(N)，∴N获胜的机会稍大．可设计如下的方案使游戏绝对公平：规定两人随机伸出5根手指中的任何一根，若和为奇数，则M胜，若和为偶数，则乙胜．(方案不惟一)


练习册系列答案
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大科学家爱因斯坦，对算术问题一直有浓厚的兴趣，下面是他做过的一道题：“阿米巴（在显微镜下才能看得见的一种单细胞生物，也称为变形虫）的繁殖方式是分裂．它的个数成倍的增长：一变二，二变四，四变八，…每三分钟分裂一次．如果在瓶子里放一个阿米巴，那么1小时后，瓶子里充满了阿米巴．请同学们想一想：如果开始时，在瓶子里放两个阿米巴，那么（　　）分钟以后，瓶子里充满了阿米巴．
A、59分钟B、30分钟C、57分钟D、54分钟
注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．
方案一：甲队单独完成这项工程刚好能够如期完成；
方案二：乙队单独完成这项工程要比规定的时间多用10天；
方案三：若甲、乙两队合作8天，余下的由乙队单独做也正好如期完成．
又从甲、乙两个工程队的投标书中得知：每天需支付甲队的工程款1.5万元，乙队的工程款1.1万元．
试问，在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
解题方案：
设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需（x+10）天．
（1）用含x的代数式表示：
甲队每天可以完成这项工程的工作量是工程总量的
1
x
1
x

乙队每天可以完成这项工程的工作量是工程总量的
1
x+10
1
x+10

根据题意，列出相应方程
8
x
+
x
x+10
=1
8
x
+
x
x+10
=1

解这个方程，得
x=40
x=40

检验：
x=40是原方程的根
x=40是原方程的根

（2）方案一得工程款为
40×1.5=60（万元）
40×1.5=60（万元）
；
方案二不合题意，舍去
方案三的工程款为
8×1.5+40×1.1=56（万元）
8×1.5+40×1.1=56（万元）

所以在不耽误工期的前提下，应选择方
（3）
（3）
能节省工程款．
在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：(
x
x-1
)2-4(
x
x-1
)+4=0．
学生甲：老师，原方程可整理为
x2
(x-1)2
-
4x
x-1
+4=0，再去分母，行得通吗？
老师：很好，当然可以这样做．
再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？
学生乙：老师，我发现
x
x-1
是整体出现的！
老师：很好，我们把
x
x-1
看成一个整体，用y表示，即可设
x
x-1
=y，那么原方程就变为y2-4y+4=0．
全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y-2）2=0
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y2-4y+4=0的根是y=2，那么就有
x
x-1
=2
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x=2，再验根就可以了！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法．
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程（组）：
（1）(
2x
x-1
)2-
4x
x-1
+1=0
（2）
6
x-y
+
4
x+y
=3
9
x-y
-
1
x+y
=1
．

M，N两同学在做一种游戏．规定每人随机伸出一只手中的1根至5根手指，两人伸出的手指的和若为2，3，4，8，9，10，则M胜；若和为5，6，7，则N胜．

(1)用树形图法分别求M，N两人获胜的概率；

(2)上面的游戏公平吗?若不公平，你能否设计一个方案使游戏绝对公平?若能。写出方案；若不能，说明理由．

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