Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．

（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；

（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．（改编）

Answer 1

解：（1）直线AB与⊙P相切，

如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵AB=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm，

∵P为BC中点，∴PB=4cm，

∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，∴△PBD∽△ABC，……3

∴，即，∴PD=2.4（cm），当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），

∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，∴直线AB与⊙P相切；……3

（2）∵∠ACB=90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，∴BO= AB=5cm，

连结OP，∵P为BC中点，∴PO= AC=3cm，……2

∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切，∴5﹣2t=3，或2t﹣5=3，

∴t=1或4∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．……2