Question

如图所示，抛物线y=-（x-m）²的顶点为A，其中m＞0．
（1）已知直线l：y=

3

x，将直线l沿x轴向

 

（填“左”或“右”）平移

 

个单位（用含m的代数式）后过点A；
（2）设直线l平移后与y轴的交点为B，若动点Q在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB相似，且相似比为2？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）若经过点A，需经过（m，0），由图中可以看出应向右平移m个单位；
（2）求得平移后相应的直线解析式以及与y轴的交点，易得△OAB的2直角边的比为

3

：1，那么以P、Q、A为顶点的三角形的两直角边的比也为

3

：1，分点Q处和点P处为直角求得相应用m表示的坐标，代入二次函数解析式求得相应值即可．

解答：解：（1）直线l：y=

3

x，将直线l沿x轴向右平移m个单位后过点A；

（2）由题意点A（m，0），
将其代入y=

3

x+b，
得b=-

3

m（3分）
∴此时直线l的解析式：
y=

3

x-

3

m，点B（0，-

3

m），
以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB相似，且相似比为2，共有以下四种情况，
①∠PQA=90°，
当

PQ

AO

=

AQ

BO

=2时
可得AQ=2

3

m，PQ=2m
∴P(m-2

3

m，-2m)，
代入抛物线解析式得：
-2m=-(m-2

3

m-m)2，m＞0
解得m=

1

6

∴P(

1-2 3

6

，-

1

3

)
②∠PQA=90°，
当

PQ

AO

=

AQ

BO

=2时
可得PQ=2m，AQ=2

3

m
∴P(m-2m，-2

3

m)，
代入抛物线解析式得：
-2

3

m=-(m-2m-m)2，m＞0，
解得m=

3

2

∴P(-

3

2

，-3)
③∠QPA=90°，
当

PQ

AO

=

AQ

BO

=2时，
可得PQ=2m，AP=2

3

m，
过P作PH⊥AQ于H，则PH=

3

m，AH=3m，
∴P(m-

3

m，-3m)，
代入抛物线解析式得：-3m=-(m-

3

m-m)2，m＞0
解得m=1
∴P(1-

3

，-3)
④∠QPA=90°，
当

PQ

BO

=

AP

AO

=2时，
可得PQ=2

3

m，AP=2m，
过P作PH⊥AQ于H，则PH=

3

m，AH=m，
∴P(m-

3

m，-m)，
代入抛物线解析式得：
-m=-(m-

3

m-m)2，m＞0
解得m=

1

3

∴P(

1- 3

3

，-

1

3

)
综上，符合条件的点共有四个：（

1-2 3

6

，-

1

3

），（-

3

2

，-3），（1-

3

，-3），（

1- 3

3

，-

1

3

）．

点评：用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例，关键是得到原直角三角形的特性，注意分情况进行讨论．