Question

如图，等腰三角形ABC，AB=AC，以AB为直径作圆O分别交AC、BC于D、E两点，过B点的切线交OE的延长线于点F，连接FD，下列结论：①，②FD是⊙O的切线；③∠C=∠DFB；④E是△BDF的内心．
其中一定正确的结论是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ②③④

Answer 1

B
分析：首先利用三角形的中位线定理证明OE∥AC，然后证得∠BOE=∠EOD可得：①，再证明△FDO≌△FBO，可以得到DF是圆的切线；利用等腰三角形的性质：等边对等角即可判断③的正误；然后根据角相等证明E在∠FAB和∠FBD的角平分线上和E在∠FBD的平分线上，利用内心的定义可得到④的正误．
解答：连接AE，DO，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BE=CE，
又∵OA=OB，
∴OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠EOD=∠ADO，
∵∠BAC=∠ADO，
∴∠BOE=∠EOD，
∴，
故①正确；
在△FDO和△FBO中，
∵，
∴△FDO≌△FBO（SAS），
∴∠ODF=∠OBF=90°，
即△FDO是直角三角形，DF是⊙O的切线．
故②正确；
设∠C=x°，则∠CAB=（180-2x）°，
则在直角△ABD中，∠ABD=90°-（180-2x）°=（2x-90）°，
∵BF是切线，则∠ABF=90°，
∴∠DBF=90°-∠ABD=90°-（2x-90）°=（180-2x）°，
在等腰△BDF中，∠DFB=180°-2∠DBF=180°-2（180-2x）°=（4x-180）°，
而4x-180与x不一定相等，故③不正确．
连接DE，DB，
∵FD、FB是圆的切线，
∴FD=FB，
又∵OB=OD
∴OF是BD的中垂线，
∴E在∠FBD的平分线上，
∵，
∴∠FBE=∠CBD，∠FDE=∠DEB，
∴E在∠FDB和∠FBD的角平分线上，
∴E是△BFD的内心，故④正确．
故选：B．
点评：此题主要考查了三角形的内心、外心以及切线的判定，解答的关键是正确证得DF是圆的切线．