Question

已知如图1，Rt△ABC和Rt△ADE的直角边AC和AE重叠在一起，AD=AE，∠B=30°，∠DAE=∠ACB=90°．
（1）如图1，填空：∠BAD=

 

；

BC

CD

=

 

；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使AE到AB边上，∠ACH=∠BCH，连接BH，求∠CBH的度数；
（3）如图3，点P是BE上一点，过A、E两点分别作AN⊥PC、EM⊥PC，垂足分别为N、M，若EM=2，AN=5，求△AND的面积．

Answer 1

分析：（1）如图1，由三角形内角和定理求得∠BAC=60°，则∠BAD=∠BAC+90°=150°；把BC、CD的长度均以AC表示，通过约分可以求得

BC

CD

的值；
（2）如图2，连接CE、AH．先证等边△ACE得AE=AC，∠AEC=∠ACE=60°．而∠AEH=∠ACH=45°，易推知∠HEC=∠HCE=15°，所以HE=HC．再证△AEH≌△ACH（SAS），由AH平分∠BAC、CH平分∠ACB，得到BH平分∠ABC，则∠CBH=15°；
（3）如图3，过点E作EF⊥AN于点F，过点D作DG⊥AN于点G，可得矩形MEFN．可证△AEF≌△DAG．则DG=AF=AN-EM=5-2=3．所以S_△AND=

1

2

AN•DG=

1

2

×5×3=

15

2

．

解答：解：（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°．
又∵∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠BAC+90°=150°；
在Rt△ABC中，BC=AC•tan60°=

3

AC．
在Rt△ADE中，AD=AC，则CD=

2

AC，
∴

BC

CD

=

3 AC

2 AC

=

6

2

．
故答案是：150°，

6

2

；

（2）如图2，连接CE、AH．
∵AC=AE，∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC，∠AEC=∠ACE=60°．
由∵∠AEH=∠ACH=45°，
∴∠HEC=∠HCE=15°，
∴HE=HC．
在△AEH与△ACH中，

HE=HC ∠AEH=∠ACH AE=AC

，
∴△AEH≌△ACH（SAS），
∴∠EAH=∠CAH，即AH平分∠BAC．
又∵∠ACH=∠BCH，即CH平分∠ACB，
∴BH平分∠ABC，则∠CBH=15°；

（3）如图3，过点E作EF⊥AN于点F，过点D作DG⊥AN于点G．
∵AN⊥PC、EM⊥PC，
∴四边形MEFN是矩形．可证△AEF≌△DAG．
∴DG=AF=AN-EM=5-2=3．
∴S_△AND=

1

2

AN•DG=

1

2

×5×3=

15

2

．

点评：本题考查了几何变换综合题．其中涉及到了图形的旋转，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形的面积计算．图形旋转时，旋转前、后的图形全等．