题目内容
方程x2-2x+1=0的根为x1=1，x2=1，则x1+x2=2，x1•x2=1．
方程x2+3x-4=0的根为x1=-4，x2=1，则x1+x2=-3，x1•x2=-4，
方程x2-x-1=0的根为x1=
，x2=
，则x1+x2=1，x1•x2=-1
（1）由此可得到什么猜想？你能证明你猜想的结论吗？
（2）利用（1）的结论解决下列问题：
已知α、β是方程x2+（m-2）x+502=0的两根，求代数式（502+mα+α2）（502+mβ+β2）的值．
方程x2+3x-4=0的根为x1=-4，x2=1，则x1+x2=-3，x1•x2=-4，
方程x2-x-1=0的根为x1=
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
（1）由此可得到什么猜想？你能证明你猜想的结论吗？
（2）利用（1）的结论解决下列问题：
已知α、β是方程x2+（m-2）x+502=0的两根，求代数式（502+mα+α2）（502+mβ+β2）的值．
（1）猜想：若方程x2+px+q=0（p、q是常数，x是未知数）有两个根x1、x2，则x1+x2=-p，x1•x2=q．理由如下：
∵方程x2+px+q=0的两实根是x1=
，x2=
，
∴x1+x2=
+
=
=-p，
x1•x2=
•
=
=q；
（2）∵α、β是方程x2+（m-2）x+502=0的两根，
∴α2+（m-2）α+502=0，β2+（m-2）β+502=0，
∴α2+mα=2α-502，β2+mβ=2β-502，
又由（1）知，α+β=2-m，αβ=502，
∴（502+mα+α2）（502+mβ+β2）=（502+2α-502）（502+2β-502）=4αβ=2008．
∵方程x2+px+q=0的两实根是x1=
-p+
| ||
| 2 |
-p-
| ||
| 2 |
∴x1+x2=
-p+
| ||
| 2 |
-p-
| ||
| 2 |
| -2p |
| 2 |
x1•x2=
-p+
| ||
| 2 |
-p-
| ||
| 2 |
| p2-(p2-4q) |
| 4 |
（2）∵α、β是方程x2+（m-2）x+502=0的两根，
∴α2+（m-2）α+502=0，β2+（m-2）β+502=0，
∴α2+mα=2α-502，β2+mβ=2β-502，
又由（1）知，α+β=2-m，αβ=502，
∴（502+mα+α2）（502+mβ+β2）=（502+2α-502）（502+2β-502）=4αβ=2008．
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