Question

如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；

②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；

③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．

(1)求证：四边形ADCE是菱形；

(2)当∠ACB＝90°，BC＝6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD＝∠COE＝90°，进而得出△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE是菱形； 　　(2)利用当∠ACB＝90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可得出AC和DE的长即可得出四边形ADCE的面积． 　　解答：(1)证明：由题意可知： 　　∵直线DE是线段AC的垂直平分线， 　　∴AC⊥DE，即∠AOD＝∠COE＝90°； 　　且AD＝CD、AO＝CO， 　　又∵CE∥AB， 　　∴∠1＝∠2， 　　∴△AOD≌△COE， 　　∴OD＝OE， 　　∴四边形ADCE是菱形； 　　(2)解：当∠ACB＝90°时， 　　OD∥BC，即有△ADO∽△ABC， 　　∴， 　　又∵BC＝6， 　　∴OD＝3， 　　又∵△ADC的周长为18， 　　∴AD＋AO＝9， 　　即AD＝9－AO， 　　∴OD＝＝3， 　　可得AO＝4， 　　∴DE＝6，AC＝8， 　　∴S＝AC·DE＝×8×6＝24． 　　点评：此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四边形面积求法，根据已知得出△ADO∽△ABC进而求出AO的长是解题关键．

提示：

考点：作图－复杂作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；相似三角形的判定与性质．