Question

(1)已知a₁，a₂，a₃为三个整数，且a₁≤a₂≤a₃，三个数中的每一数均为其它两数的乘积，求所有满足条件的三数组(a₁，a₂，a₃)．

(2)如果a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆为6个整数，且a₁≤a₂≤a₃≤a₄≤a₅≤a₆，六个数中任一个数均为其它五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组(a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆)共有多少组？请说明理由．

Answer 1

(1)由题意知a₁=a₂a₃，a₂=a₁a₃，a₃=a₁a₂，三式相乘得a₁a₂a₃=(a₁a₂a₃)²

∴a₁a₂a₃=0或a₁a₂a₃=1

即a²₁=0或a²₁=1

∴a₁=0或a₁=1或a₁=-1

当a₁=0时，a₂=a₃=0

当a₁=1时，a₂=a₃=1

当a₁=-1时，a₂=-1，a₃=-1

∴共有三个这样的三数组(0，0，0)，(1，1，1)，(-1，-1，-1)．

(2)取a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的绝对值并按大小顺序排列，不妨设为0≤b₁≤b₂≤b₃≤b₄≤b₅≤b₆，则b₁，b₂，b₃，b₄，b₅，b₆也满足题意要求．

①若b₁=0，则b₂，b₃，b₄，b₅，b₆中至少有一个为0，即b₂=0．由于b₁=b₂=0，∴b₃=b₄=b₅=b₆=0，∴a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=a₆=0

②若b₁≠0，则b₁=b₂b₃b₄b₅或b₁=b₃b₄b₅b₆≥b₂b₃b₄b₅

∴b₁≥b₂b₃b₄b₅

又b₆=b₂b₃b₄b₅或b₆=b₁b₂b₃b₄≤b₂b₃b₄b₅

∴b₁=b₂=b₃=b₄=b₅=b₆，b₁=b⁴₁，b₁=1即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的绝对值均为1，它们只能是+1或-1．

i)a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=a₆=1符合条件．

ii)若a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆中有-1，则最少有2个-1，最多有5个-1．

即(-1，-1，1，1，1，1)，(-1，-1，-1，1，1，1)，(-1，-1，-1，-1，1，1)，(-1，-1，-1，-1，-1，1)均符合条件．

∴符合条件的数组共有6组．