Question

如图梯形ABCD中，AB∥CD，两对角线AC与BD相交于O，且BD⊥AD，已知BC=CD=7，AD=2

13

，则sin∠DAC的值为（　　）

• A、

  2 17

  17

• B、

  13

  7

• C、

  13

  17

• D、

  17

  7

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：

分析：延长AD、BC相交于点E，根据等边对等角可得∠CBD=∠CDB，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠CDB，然后求出∠CBD=∠ABD，再利用“角边角”证明△ABD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=DE，然后求出DE是△ABE的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AB，再利用勾股定理列式求出BD，再求出△ABO和△CDO相似，利用相似三角形对应边成比例求出

OD

OB

，然后求出OD，利用勾股定理列式求出AO，最后利用锐角三角函数的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．

解答：解：如图，延长AD、BC相交于点E，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠ABD，
在△ABD和△EBD，

∠CBD=∠ABD BD=BD ∠ADB=∠EDB

，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD=DE，
∵AB∥CD，
∴DE是△ABE的中位线，
∴AB=2CD=2×7=14，
在Rt△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

142-(2 13 )2

=12，
∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴

OD

OB

=

CD

AB

=

1

2

，
∴OD=12×

1

1+2

=4，
∵BD⊥AD，
∴AO=

AD2+OD2

=

(2 13 )2+42

=2

17

，
∴sin∠DAC=

OD

AO

=

4

2 17

=

2 17

17

．
故选A．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形和CD是中位线的三角形是解题的关键．